Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=2，AC=AD=DE=4，F为CD的中点，
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE
（Ⅱ）若∠CAD=120°，求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）取CE的中占N，连结FN，BN，由已知条件推导出四边形ABNF是平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．
（Ⅱ）分别求出平面BED的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角F-BE-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取CE的中占N，连结FN，BN，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∵CF=FD，CN=NE，∴NF∥DE，NF=

1

2

DE，
又AB=

1

2

DE，∴AB∥NF，AB=NF，
∴四边形ABNF是平行四边形，
∴AF∥BN，
又AF不包含于平面BCE，BN?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（Ⅱ）令平面BED的法向量

n

=（x，y，z），
∵

BD

=(2

3

，-2，-2)，

BE

=(2

3

，-2，2)，
∴

n1 • BD =2 3 x-2y-2z=0 n1 • BE =2 3 x-2y+2z=0

，
令x=

3

，得

n1

=（

3

，3，0），
令平面BEF的法向量

n2

=(x，y，z)，
∵

BF

=(0，-2，-2)，

BE

=(2

3

，-2，2)，
∴

n2 • BF =-2y2-2z2=0 n2 • BE =2 3 x2-2y2+2z2=0

，
令y=1，得

n2

=（

2 3

3

，1，-1），
cos＜

n1

  ，

n2

＞=

3 • 2 3 3 +3•1+0•1

12 • 4 3 +2

=

10

4

，
∴二面角F-BE-D的余弦值为

10

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．