题目内容
在四面体ABCD中，已知AB=4，AC=4，AD=2，且AB、AC、AD两两所成角为60°，则四面体ABCD的体积为 ．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：设B在平面ACD中的射影为O，利用AB、AC、AD两两所成角为60°，可得cos∠BAC=cos∠BAOcos∠OAC，从而求出cos∠BAO=
，可得sin∠BAO，进而求出高BO，再求出底面积，即可求出四面体ABCD的体积．
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| 3 |
解答：
解：设B在平面ACD中的射影为O，则
∵AB、AC、AD两两所成角为60°，
∴cos∠BAC=cos∠BAOcos∠OAC，
∴cos60°=cos∠BAOcos30°，
∴cos∠BAO=
，
∴sin∠BAO=
，
∴BO=ABsin∠BAO=
，
∵AC=4，AD=2，∠DAC=60°，
∴S△ACD=
×4×2×
=2
，
∴VABCD=
×2
×
=
．
故答案为：
．
∵AB、AC、AD两两所成角为60°，
∴cos∠BAC=cos∠BAOcos∠OAC，
∴cos60°=cos∠BAOcos30°，
∴cos∠BAO=
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| 3 |
∴sin∠BAO=
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| 3 |
∴BO=ABsin∠BAO=
4
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| 3 |
∵AC=4，AD=2，∠DAC=60°，
∴S△ACD=
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| 2 |
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∴VABCD=
| 1 |
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| 3 |
4
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8
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故答案为：
8
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点评：本题考查四面体ABCD的体积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的高是关键．
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