Question

已知函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．定义：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=2，3，4，…满足f_n（x）=x的点x∈[0，1]称为f（x）的n阶不动点．则f（x）的n阶不动点的个数是（　　）

• A、2n个
• B、2n²个
• C、2（2ⁿ-1）个
• D、2ⁿ个

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：创新题型,推理和证明

分析：根据数f（x）=1-|2x-1|=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1

，求出f₁（x）=x，的根，及个数．
根据f₁（x），求出f₂（x）=x的根，及个数，类比推理求解f（x）的n阶不动点的个数．

解答： 解：函数f（x）=1-|2x-1|=

2x，0≤x≤ 1 2 2-2x， 1 2 ＜x≤1

当x∈[0，

1

2

]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0，
当x∈（

1

2

，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

，
∴f的1阶周期点的个数为2
当x∈[0，

1

4

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x，解得x=0
当x∈（

1

4

，

1

2

]时，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x，解得x=

2

5

，
当x∈（

1

2

，

3

4

]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4x-2=x，解得x=

2

3

当x∈（

3

4

，1]时，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x，解得x=

4

5

，
∴f的2阶周期点的个数为2²，
依此类推：
∴f的n阶周期点的个数为2ⁿ

点评：本题考察了分段函数解析式的求解，不动点的求解，特别是区间的取设，讨论函数式子．属于难题．