Question

已知圆C方程（x-2）²+（y-1）²=5，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，B点是圆C与y轴的交点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：求出点B关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径．

解答： 解：圆C方程（x-2）²+（y-1）²=5，
圆心C（2，1），半径为

5

．
B点是圆C与y轴的交点，则B（0，0）或（0，2）
若点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为D（a，b），
则由

b-2 a =1 1 2 a+ 1 2 (2+b)+2=0

，解得

a=-4 b=-2

，即D（-4，-2），
则|PB|+|PQ|=|PD|+|PQ|≥|DQ|，
故D到圆上点Q的最短距离为|DC|-r=3

5

-

5

=2

5

，且CD：y=

1

2

x，联立x+y+2=0解得交点P（-

4

3

，-

2

3

）．
即有|PB|+|PQ|的最小值为2

5

，P（-

4

3

，-

2

3

）；
若B（0，0），同样的方法，可求得对称点为A（-2，-2），AC：y=

3

4

x-

1

2

，
联立x+y+2=0，解得交点P（-

6

7

，-

8

7

），
此时A到圆上点Q的最短距离为|AC|-r=5-

5

，
即有|PB|+|PQ|的最小值为5-

5

，P的坐标为（-

6

7

，-

8

7

）．

点评：本题考查圆的方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．