Question

设数列{a_n}，其前n项和S_n=-3n²，{b_n}为单调递增的等比数列，b₁b₂b₃=512，a₁+b₁=a₃+b₃．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项；
（2）若c_n=

bn

(bn-2)(bn-1)

，数列{c_n}的前n项和T_n，求证：

2

3

≤Tn＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=-3，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-3n²+3（n-1）²=-6n+3，由此能求出a_n=-6n+3；由已知得

(b1q)3=512 -3+b1=-15+b1q2

，由此能求出b_n=2ⁿ⁺¹．
（2）cn=

2n+1

(2n+1-2)(2n+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，由此利用裂项求和法能证明

2

3

≤Tn＜1．

解答： （1）解：∵数列{a_n}，其前n项和S_n=-3n²，
∴a₁=-3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-3n²+3（n-1）²=-6n+3，
当n=1时，上式也成立，
∴a_n=-6n+3，
∵{b_n}为单调递增的等比数列，b₁b₂b₃=512，a₁+b₁=a₃+b₃，
∴

(b1q)3=512 -3+b1=-15+b1q2

，
解得b₁=4，q=2或b1=-16，q=-

1

2

（舍），
∴b_n=2ⁿ⁺¹．（4分）
（2）证明：cn=

2n+1

(2n+1-2)(2n+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

（8分）
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

∵{ T_n } 是递增数列，（12分）
∴

2

3

≤Tn＜1（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．