Question

（1）将一骰子抛掷两次，所得点数分别记为m、n，求函数y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率．
（2）在区间[-π，π]内随即取出两个数分别记作a，b，求函数f（x）=x²+2ax-b²+π²有零点的概率．

Answer 1

考点：几何概型,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数有36个．函数y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上为增函数包含的基本事件个数为30个，利用古典概型公式即可得到答案．
（2）求出区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，对应平面区域的面积，再求出满足条件使得函数f（x）=x²+2ax-b²+π²有零点对应的平面区域的面积，然后代入几何概型公式，即可求解．

解答： 解：（1）函数y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上为增函数，等价于导数y′=2mx²-n 在[1，+∞）上大于或等于0恒成立．
而x²≥

n

2m

在[1，+∞）上恒成立即

n

2m

≤1．
∵将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数为36个，而满足

n

2m

≤1包含的（m，n）基本事件个数为30个，
故函数y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上为增函数的概率是

30

36

=

5

6

；
（2）若使函数有零点，必须△=（2a）²-4（-b²+π²）≥0，即a²+b²≥π²．
在坐标轴上将a，b的取值范围标出，如图所示

当a，b满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．
于是概率为1-

π3

4π2

=1-

π

4

．

点评：本题考查的是概率与函数的综合问题，利用古典概型的特点分别求出基本事件的总数及所求事件包含的基本事件的个数，利用导数解决函数的恒成立问题，何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．属于中档题．