Question

已知函数f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

．
（Ⅰ）求该函数图象的对称轴；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b²=ac，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的对称性,余弦定理

专题：高考数学专题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求该函数图象的对称轴；
（Ⅱ）通过在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b²=ac，利用余弦定理求出B 地方我，得到相位的范围，即可求解f（B）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

(1+cos

2x

3

)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

由sin(

2x

3

+

π

3

)=±1即

2x

3

+

π

3

=kπ+

π

2

(k∈z)得x=(

3k

2

+

1

4

)π

，k∈z

即对称轴为x=(

3k

2

+

1

4

)π

，k∈z

…（6分）
（Ⅱ）由已知b²=ac，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosB＜1，
∴0＜B≤

π

3

，
∴

π

3

＜

2B

3

+

π

3

≤

5π

9

，
∴

3

2

＜sin(

2B

3

+

π

3

)≤1
∴

3

＜sin(

2B

3

+

π

3

)+

3

2

≤1+

3

2

，
即f（B）的值域为(

3

，1+

3

2

]．…（14分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象与性质的应用，考查计算能力．