Question

如图，在直二面角E-AB-C中，四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AB=AF=4，AD=2，点P、Q、G分别是AC、BC、AF的中点；
（Ⅰ）求FB与PG所成角的正切值：
（Ⅱ）求二面角G-PQ-A，的平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：计算题

分析：（I）取AB的中点为M，又G为AF的中点，由三角形中位线定理得GM∥BF，则∠PGM是FB与PG所成角，由已知中直二面角E-AB-C中，四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AB=AF=4，AD=2，解△PMG即可得到FB与PG所成角的正切值：
（Ⅱ）延长QP交AD于K，由面面垂直的性质定理，结合二面角E-AB-C为直二面角，易得QK⊥GK而AK⊥QK，即∠GKA是二面角G-PQ-A的平面角，解Rt△AKG，即可得到二面角G-PQ-A，的平面角的正切值．

解答： 解：（I）取AB的中点为M，又G为AF的中点，则GM∥BF
所以∠PGM是FB与PG所成角（3分）
由PM∥AD，AD⊥AB知PM⊥AB
又二面角E-AB-C是直二面角
即中平面ABCD⊥平面ABEF，交线是AB，
所以PM⊥平面ABEF，
所以PM⊥MG于是△PMG是直角三角形，
PM=

1

2

AD=1
GM=

AG2+AM2

=2

2

，
∴tan∠PGM=

PM

MG

=

2

4

（7分）
（Ⅱ）延长QP交AD于K，由平面ABCD⊥平面ABEF，AG⊥AB知AG⊥平面ABCD，
又QK⊥AD
∴QK⊥GK而AK⊥QK，
所以∠GKA是二面角G-PQ-A的平面角．（10分）
则Rt△AKG中，AK=1，AG=2
∴tan∠GKA=2．（13分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，其中（I）的关键是证得∠PGM是FB与PG所成角，而（II）的关键是证得∠GKA是二面角G-PQ-A的平面角．