Question

已知实数a，b满足a+b=1，则（a+2）²+（b+2）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：综合题,数形结合,转化思想

分析：由题意（a+2）²+（b+2）²的几何意义是点（a，b）与点（-2，-2）的距离的平方，（a+2）²+（b+2）²的最小值点（-2，-2）到直线a+b=1的距离的平方，由此问题转化为求点（-2，-2）到直线a+b=1的距离

解答： 解：由题意（a+2）²+（b+2）²的几何意义是点（a，b）与点（-2，-2）的距离的平方
实数a，b满足a+b=1，即点（a，b）在直线a+b=1运动，
∴两点（a，b）与点（-2，-2）的距离的最小值即为点（-2，-2）到直线a+b=1的距离
由于d=

|-2-2-1|

2

=

5

2

2

∴（a+2）²+（b+2）²的最小值为

25

2

故答案为：

25

2

．

点评：本题考查圆的方程的应用，点到直线的距离公式，解题的关键是理解题意，将求（a+2）²+（b+2）²的最小值问题转化为点（-2，-2）到直线a+b=1的距离的平方，本题考查了转化的思想，数形结合的思想，本题考查析几何的根本问题，题目难度不大，但很有价值．