Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知已知 

cosA

cosB

=

b

a

，且∠C=

2π

3

．
（1）求角A，B的大小；
（2）设函数f(x)=sin(2x+A)+cos(2x-

C

2

)，求函数f（x）在[-

π

8

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

考点：解三角形,正弦函数的定义域和值域

专题：计算题

分析：（1）利用正弦定理可把已知条件化简可得，sin2A=sin2B，从而可得A=B或A+B=

π

2

（舍去），进而可求∠C=

2π

3

，A=B=

π

6

（2）由（1）可得，∠C=

2π

3

，A=B=

π

6

代入函数中整理可得，f（x）=2sin（2x+

π

6

），由x∈[-

π

8

，

π

4

]，可得-

π

12

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，结合正弦函数y=sinx在[-

π

12

，

π

2

]上单调递增，在[

π

2

，

2π

3

]上单调递减可求函数f（x）的最小值为f(-

π

12

)=

2 - 6

2

，最大值为f(

π

2

)=2．
即函数f（x）在[-

π

8

，

π

4

]上的值域为[

2 - 6

2

，2]．

解答： 解：（1）因为

cosA

cosB

=

b

a

，由正弦定理得

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即sin2A=sin2B（2分）
所以，A=B或A+B=

π

2

（舍去），∠C=

2π

3

，则A=B=

π

6

（4分）
（2）f(x)=sin(2x+A)+cos(2x-

C

2

)
=sin(2x+

π

6

)+cos(2x-

π

3

)=sin(2x+

π

6

)+cos(2x+

π

6

-

π

2

)=2sin(2x+

π

6

)（8分）
因为x∈[-

π

8

，

π

4

]，则-

π

12

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
而正弦函数y=sinx在[-

π

12

，

π

2

]上单调递增，在[

π

2

，

2π

3

]上单调递减．（11分）
所以，函数f（x）的最小值为f(-

π

12

)=

2 - 6

2

，最大值为f(

π

2

)=2．
即函数f（x）在[-

π

8

，

π

4

]上的值域为[

2 - 6

2

，2]（14分）

点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，两角和与差的三角公式，正弦函数在闭区间上的函数的值域的求解，综合的知识较多，综合性较好．