Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*．设b_n=log₂

Sn

n

，t_n=

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

b2n-1

，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数N，有t_n＞

k

12

恒成立？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：将n换成n+1，两式相减，运用n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到数列{

an

2n

}为首项为2，公差为1的等差数列，求出b_n，t_n，t_n+1，作差，判断{t_n}的单调性，求出t_n的最小值，令

k

12

小于最小值，即可求出正整数k的最大值．

解答： 解：当n=1时，S₁=2a₁-4，解得a₁=4．
由题意得S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，S_n+1=2a_n+1-2ⁿ⁺²，
两式相减得a_n+1=2a_n+1-2a_n-2ⁿ⁺¹，
于是a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1
∴数列{

an

2n

}为首项为2，公差为1的等差数列，
∴

an

2n

=n+1，即a_n=2ⁿ（n+1）
代入S_n=n•2ⁿ⁺¹，
∴bn=lo

g

Sn n 2

=n+1，
∴t_n=

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

b2n-1

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∴t_n+1-t_n=

1

2(2n+1)(n+1)

．
∵n是正整数，∴t_n+1-t_n＞0，即t_n+1＞t_n．
∴数列{t_n}是一个单调递增数列，
又t₁=b₂=

1

2

，∴t_n≥t₁=

1

2

，
要使t_n＞

k

12

恒成立，则有

1

2

＞

k

12

，即k＜6，
又k是正整数，故存在最大正整数k=5使t_n＞

k

12

恒成立．

点评：本题主要考查数列的通项和求和，考查等比数列的通项，以及不等式的恒成立问题，判断数列的单调性，注意考虑相邻两项的大小，属于难题．