题目内容

如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10）．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2…A9和B1，B2…B9，连结OBi，过Ai做x轴的垂线与OBi交于点Pi（i∈N*，1≤i≤9）．
（1）求证：点Pi（i∈N*，1≤i≤9）都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；
（2）过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4：1，求直线的方程．
（3）倾斜角为a的直线经过抛物线E的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交y轴于点P，证明|FP|+|FP|cos2α为定值，并求此定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）求出直线OBi的方程与过Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程联立即可得出；
（2）设直线的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立可得关于x的一元二次方程及其根与系数的关系，
再利用面积之比即可得出斜率k．
（3）把直线AB：y=xtanα+
5
2
代入抛物线方程可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式和相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出线段ABD的垂直平分线的方程，进而得出．
解答： （1）证明：由题意，过Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为
x=i．
∵Bi（10，i），∴直线OBi的方程为y=
i
10
x．
设Pi坐标为（x，y），由
x=i
y=
i
10
x
得：y=
1
10
x2，即x2=10y，
∴Pi（i∈N*，1≤i≤9）都在同一条抛物线上，
且抛物线E方程为x2=10y．
（2）解：依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为y=kx+10，
联立
y=kx+10
x2=10y
得x2-10kx-100=0，
此时△=100k2+400＞0，直线与抛物线E恒有两个不同的交点M，N．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=-100，
∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．
又x1x2＜0，∴x1=-4x2．
分别代入
y=kx+10
x2=10y
，解得k=±
3
2
，
直线的方程为y=±
3
2
x+10，即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0．
（3）解：直线AB：y=xtanα+
5
2
代入x2=10y，
整理得：x2-10xtanα+25=0，
设方程二根为x1，x2，则x1+x2=10tanα．
设AB中点M为(5tanα，5tan2α+
5
2
)，
AB的垂直平分线方程是：y=-
1
tanα
(x-5tanα)+5tan2α+
5
2
，
令x=0，则y=5tan2α+
15
2
，得到P(5tan2α+
15
2
，0)，
故|FP|=|OP|-|OF|=5tan2α+5，
于是|FP|+FP|cos2α=10，为定值．
点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、中档坐标公式、线段的垂直平分线方程等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（　　）
 
A、-
3
B、-
3
2
C、
3
D、
3
2
直线l：ax-y-1=0与曲线C：x2-2y2=1交于P、Q两点，
（1）当实数a为何值时，|PQ|=2
1+a2
．
（2）是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，则λ1+λ2是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．
已知二次函数f（x）=ax2+bx（a、b∈R）满足：①f（4+x）=f（4-x）②对一切x∈R，都有f（x）≤x，
（1）求f（x）；
（2）设集合A={x∈R|f（x）＞0}，B={x∈R|2x2-3（1+a）x+6a＜0}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
a+c
b
=
sinA-sinB
sinA-sinC
．
（1）求角C；
（2）求sinA+sinB的取值范围．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为e=
3
3
，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）抛物线C2：y2=2px（p＞0）与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上（R，S与Q不重合），且满足
QR
•
RS
=0，求|
QS
|的取值范围．
如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=
4
5
|PD|．
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）若直线y=ax-5与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[45，50），第2组[50，55），第3组[55，60），第4组[60，65），第5组[65，70]，得到如图所示的频率分布直方图．则a=
 
，现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生，则第3，4，5组抽取的学生人数依次为
 
．

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