Question

已知抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C₂：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x²+y²=1上．
（1）求抛物线C₁和椭圆C₂的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C₁于A，B两不同点，交y轴于点N，已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，则λ₁+λ₂是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程；
（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出λ₁=

x1

1-x1

，λ₂=

x2

1-x2

然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简λ₁+λ₂并求值．

解答： 解：（1）由抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0）在圆O：x²+y²=1上得：

p2

4

=1
∴p=2，
∴抛物线C₁：y²=4x（3分）
同理由椭圆C₂：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦点（0，c），（0，-c）
及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，
∴a=

2

．
得椭圆C₂：x²+

y2

2

=1．（6分）
（2）λ₁+λ₂是定值，且定值为-1．
设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则N（0，k）．
联立方程组

y2=4x y=k(x-1)

，消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴△=16k²+16＞0，且

x1+x2= 2k2+4 k2 x1x2=1

，（9分）
由

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

得：λ₁（1-x₁）=x₁，λ₂（1-x₂）=x₂，
整理得：λ₁=

x1

1-x1

，λ₂=

x2

1-x2

，
λ₁+λ₂=

x1+x2-2x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=

2k2+4-2 k2

1- 2k2+4 k2 +1

=-1  （13分）

点评：本题考查抛物线与椭圆的标准方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．