Question

直线l：ax-y-1=0与曲线C：x²-2y²=1交于P、Q两点，
（1）当实数a为何值时，|PQ|=2

1+a2

．
（2）是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立

ax-y-1=0 x2-2y2=1

，得（1-2a²）x²+4ax-3=0．由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数a的值．
（2）假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，由OP⊥OQ，推导出a²=-2与a为实数矛盾，从而得到不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点

解答： 解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立

ax-y-1=0 x2-2y2=1

，得（1-2a²）x²+4ax-3=0．
若1-2a²=0，即a=±

2

2

时，l与C的渐近线平行，
l与C只有一个交点，与题意不合，
∴1-2a²≠0，∵△=（4a）²-4（1-2a²）（-3）＞0，∴-

6

2

＜a＜

6

2

．

x1+x2=- 4a 1-2a2 x1x2=- 3 1-2a2

，（*）
∴|PQ|=

1+a2

|x₁-x₂|=2

1+a2

．
∴（x₁-x₂）²=4，∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4．
∴（-

4a

1-2a2

）²-4•

(-3)

1-2a2

=4．
∴a=±1∈（-

6

2

，

6

2

）．
∴所求的实数a的值为a=±1．
（2）假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，
则由OP⊥OQ，得y₁•y₂=-x₁•x₂．
∴（ax₁-1）•（ax₂-1）=-x₁•x₂，
∴（1+a²）x₁•x₂-a（x₁+x₂）+1=0．
把（*）式代入得：a²=-2与a为实数矛盾，
∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点．

点评：本题考查实数的值的求法，考查满足条件的实数是否存在，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．