题目内容
数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{
}是等差数列；
（Ⅱ）设bn=3n•
，求数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）证明：数列{
| an |
| n |
（Ⅱ）设bn=3n•
| an |
考点：数列的求和,等比关系的确定
专题：
分析：（Ⅰ）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得
=
+1，由等差数列的定义得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n•
=n•3n，利用错位相减求出数列{bn}的前n项和Sn．
| an+1 |
| n+1 |
| an |
| n |
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n•
| an |
解答：
证明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），
∴
=
+1，
∴
-
=1，
∴数列{
}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=1+(n-1)•1=n，
∴an=n2，
bn=3n•
=n•3n，
∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+(n-1)•3n-1+n•3n①
3Sn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)•3n+n•3n+1②
①-②得-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1
=
-n•3n+1
=
•3n+1-
∴Sn=
•3n+1+
∴
| an+1 |
| n+1 |
| an |
| n |
∴
| an+1 |
| n+1 |
| an |
| n |
∴数列{
| an |
| n |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
| an |
| n |
∴an=n2，
bn=3n•
| an |
∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+(n-1)•3n-1+n•3n①
3Sn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)•3n+n•3n+1②
①-②得-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1
=
| 3-3n+1 |
| 1-3 |
=
| 1-2n |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴Sn=
| 2n-1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．
练习册系列答案
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=（1，2），
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=m
+
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与
的夹角等于
与
的夹角，则m=（ ）
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| c |
| b |
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