Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2

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，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；
（Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积．

解答： （Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC?平面ABCD，
∴BC∥EF，
∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∵平面EFGH∩平面PBC=GH，
∴EF∥GH；
（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．
∵PA=PC，O为AC中点，
∴PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD，
又∵BD∩AC=O，AC?底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO?平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，
∵平面PBD∩平面GEFH=GK，
∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD
∴GK是梯形GEFH的高
∵AB=8，EB=2，
∴

EB

AB

=

KB

DB

=

1

4

，
∴KB=

1

4

DB=

1

2

OB，即K为OB中点，
又∵PO∥GK，
∴GK=

1

2

PO，即G为PB中点，且GH=

1

2

BC=4，
由已知可得OB=4

2

，PO=

PB2-OB2

=

68-32

=6，
∴GK=3，
故四边形GEFH的面积S=

1

2

(GH+EF)×GK=

1

2

(4+8)×3=18．

点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．