Question

已知函数f（x）=x-

a

x

（a＞0），g（x）=2lnx．
（1）若对[1，+∞）内任意的x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）当a=1时，
（i）．求最大正整数k，使得任意k个实数x₁，x₂，…，x_k∈[e，3]，都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立（e=2.71828…是自然对数的底数）；
（ii）．求证：

n

i=1

4i

4i2-1

＞ln（2n+1）（i，n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用参数分离法，将不等式f（x）≥g（x）恒成立，进行转化，即可求a的取值范围；
（2）根据数列的求和公式，利用导数求出函数的最值，即可证明不等式．

解答： 解：（1）由f（x）≥g（x）整理得

a

x

≤x-2lnx．
∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，
必须a≤x²-2xlnx恒成立．
设h(x)=x2-2xlnx，h′(x)=2x-2(lnx+x•

1

x

)=2x-2lnx-2，
设p(x)=h′(x)，p′(x)=2-

2

x

，∵p′(x)=2-

2

x

，
∴当x≥1时，p′(x)=2-

2

x

＞0，则h′（x）是增函数．
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函数，h（x）≥h（1）=1，
则a≤1．
∵a＞0，
∴实数a的取值范围是（0，1]．
（2）ⅰ当a=1时，f(x)=x-

1

x

，
∵f′(x)=1+

1

x2

＞0，
∴f（x）在[e，3]上是增函数，f（x）在[e，3]上的最大值为f(3)=

8

3

．
要对[e，3]内的任意k个实数x₁，x₂，…，x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立，
必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值．
∵当x₁=x₂=…=x_k-1=3时不等式左边取得最大值，x_k=e时不等式右边取得最小值．
∴(k-1)×

8

3

≤16×2，解得k≤13，
因此k的最大值为13．
ⅱ当a=1时，根据（1）的推导有x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），
即lnx＜

1

2

(x-

1

x

)．
令x=

2k+1

2k-1

，得ln

2k+1

2k-1

＜

1

2

(

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

)，
化简得ln(2k+1)-ln(2k-1)＜

4k

4k2-1

，
ln(2n+1)=

n

i=1

[ln(2i+1)-ln(2i-1)]＜

n

i=1

4i

4i2-1

．

点评：本题主要考查不等式恒成立的证明，已经利用导数研究函数的最值，综合性较强，难度极大．