题目内容
某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=
，
=
-
．
| 年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
| 年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
 |
| b |
| |||||||
|
|
| a |
. |
| y |
|
| b |
. |
| t |
考点：线性回归方程
专题：计算题,概率与统计
分析：（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
解答：
解：（Ⅰ）由题意，
=
×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=
×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴
=
=
=0.5，
=
-
=4.3-0.5×4=2.3．
∴y关于t的线性回归方程为
=0.5t+2.3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入
=0.5t+2.3，得：
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
. |
| t |
| 1 |
| 7 |
. |
| y |
| 1 |
| 7 |
∴
|
| b |
| (-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6 |
| 9+4+1+0+1+4+9 |
| 14 |
| 28 |
|
| a |
. |
| y |
|
| b |
. |
| t |
∴y关于t的线性回归方程为
| ∧ |
| y |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入
| ∧ |
| y |
| ∧ |
| y |
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
点评：本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．
练习册系列答案
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A、21+
| ||
B、18+
| ||
| C、21 | ||
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