Question

已知a、b、x、y均为正实数，且

1

a

＞

1

b

，x＞y．求证：

x

x+a

＞

y

y+b

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明,不等式

分析：要证原式，只需证x（y+b）＞y（x+a），即证xy+xb＞xy+ay，只需证xb＞ay，根据同向不等式相乘即可得证．

解答： 证明：∵a、b均为正数，∴由

1

a

＞

1

b

，得0＜a＜b，
∵x＞y＞0，∴xb＞ay，
∴xy+xb＞xy+ay，即x（y+b）＞y（x+a），
两边同时除以正数（y+b）•（x+a），得

x

x+a

＞

y

y+b

．
即证．

点评：1．证明不等式时，常常先用分析法的思路分析，这样易于上手；用综合法的步骤写出，这样更具条理性．
2．本题也可以这样分析：要证原式，只需证

x+a

x

＜

y+b

y

，即

a

x

＜

b

y

，只需证

x

a

＞

y

b

，由同向不等式相乘即可得证．