题目内容
已知向量
，
满足
=（2sinx，
（cosx+sinx）），
=（cosx，cosx-sinx），函数f（x）=
•
（x∈R）．
（1）将f（x）化成Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的形式；
（2）求f（x）的单调递增区间
（3）若x∈[0，
]，求f（x）的值域．
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（1）将f（x）化成Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的形式；
（2）求f（x）的单调递增区间
（3）若x∈[0，
| π |
| 2 |
考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）根据数量积求出f（x）式子，运用三角变换化简可得f（x）=2sin（2x+
）
（2）-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，k∈z可得：-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈z
（3）整体求出
≤2x+
≤
，-
≤sin（2x+
）≤1，-
2sin（2x+
）≤2，可得值域
| π |
| 3 |
（2）-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（3）整体求出
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3≤ |
| π |
| 3 |
解答：
解：（1）∵向量
，
满足
=（2sinx，
（cosx+sinx）），
=（cosx，cosx-sinx），
函数f（x）=
•
（x∈R）．
∴f（x）=2sinxcosx+
（cos2x-sin2x）=sin2x+
cos2x=2sin（2x+
），
（2）f（x）=2sin（2x+
），
∵-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，k∈z
∴-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈z
∴f（x）的单调递增区间[-
+kπ，
+kπ]，k∈Z
（3）∵x∈[0，
]，
∴
≤2x+
≤
，
即-
≤sin（2x+
）≤1，
-
2sin（2x+
）≤2，
可得：当x∈[0，
]时，f（x）的值域为[-
，2]．
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
函数f（x）=
| a |
| b |
∴f（x）=2sinxcosx+
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
∵-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴f（x）的单调递增区间[-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（3）∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
即-
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
-
| 3≤ |
| π |
| 3 |
可得：当x∈[0，
| π |
| 2 |
| 3 |
点评：本题综合考察了向量在三角函数中的运用，求解三角函数的单调区间、值域问题，综合性大一点，但是难度不大，属于中档题．
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