Question

15．若$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow c$的夹角为60°，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}|$，则tanθ=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． -$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作出图形，将问题转化为解三角形问题．

解答 解：若$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow c$的夹角为60°，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}|$，
如图，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则∠COA=60°，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，
则 $\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{c}$，∠ODB=∠AOD=120°，BD=OA，OB=$\sqrt{3}$OA．
在△OBD中，由正弦定理得：$\frac{OB}{sin∠ODB}$=$\frac{BD}{sin∠BOD}$，∴$\frac{\sqrt{3}•OA}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{OA}{sin∠BOD}$，
解得sin∠BOD=$\frac{1}{2}$，∴∠BOD=$\frac{π}{6}$，∴θ=∠BOD+∠AOD=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量加法的几何意义，正弦定理，属于中档题．