Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）若PD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，且三棱锥P-ACE的体积为$\frac{\sqrt{2}}{12}$，求AE与平面PDB所成的角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需证AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB，平面AEC⊥面PDB
（Ⅱ）由V_P-ACE=V_P-ABCD -V_P-ACD -V_E-ABC，设E点到平面ABC的距离为h，代入上式，可解得h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即E为PB的中点．设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，可得∠AEO为AE与平面PDB所的角，
在Rt△AOE中，OE=$\frac{1}{2}PD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=AO$，可得∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45⁰

解答 解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥面PDB．---------------------（4分）
（Ⅱ）因为V_P-ACE=V_P-ABCD -V_P-ACD -V_E-ABC
设E点到平面ABC的距离为h，代入上式，可解得h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即E为PB的中点．
设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，OE=$\frac{1}{2}PD$，
又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE=$\frac{1}{2}PD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=AO$，
∴∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45⁰．----------------（12分）

点评 本题考查了面面垂直的判定，等体积法求高，线面角的求解，属于中档题．