Question

已知y=

1+sinx

2+cosx

，求y的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：法一：去分母，原式化为sinx-ycosx=2y-1，即sin（x-φ）=

2y-1

1+y2

．利用正弦函数的有界性即可求解；
法二：令x₁=-cosx，y₁=-sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，1）以及该圆上的动点M（-cosx，-sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可．

解答： 解法一：去分母，原式化为
sinx-ycosx=2y-1，
即sin（x-φ）=

2y-1

1+y2

．
故

|2y-1|

1+y2

≤1，解得0≤y≤

4

3

．
则y_max=

4

3

；
解法二：令x₁=-cosx，y₁=-sinx，有x₁²+y₁²=1．
它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，1）
以及该圆上的动点M（-cosx，-sinx）的直线PM的斜率k，
故只需求此直线的斜率k的最值即可．由

|1-2k|

1+k2

=1，得k=0或

4

3

．
则y_max=

4

3

．

点评：本题考查了函数的最值的求法，考查三角函数的最值，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及直线的斜率的运用，与直线和圆相切的条件，属于中档题．