Question

求证：函数f（x）=

1

x2

（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．

解答： 证明：设0＜m＜n，则
f（m）-f（n）=

1

m2

-

1

n2

=

(n-m)(n+m)

m2n2

由于0＜m＜n，则n-m＞0，n+m＞0，mn＞0，
则f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
则f（x）在（0，+∞）上是减函数；
同理可证，f（x）在（-∞，0）上是增函数．

点评：本题考查函数的单调性的证明，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．