Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）若对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间，从而可求函数的最小值；
（Ⅱ）由对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，知2xlnx≥-x²+ax-3，分离参数，求最值，由此能够求出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
由f′（x）=1+lnx＜0，可得0＜x＜

1

e

，f′（x）=1+lnx＞0，可得x＞

1

e

，
∴函数f（x）的减区间为（0，

1

e

），增区间为（

1

e

，+∞）．
∴x=

1

e

时，函数取得最小值-

1

e

；
（Ⅱ）∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴2xlnx≥-x²+ax-3，
∴a≤2lnx+x+

3

x

，
令h（x）=2lnx+x+

3

x

，
则h′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

当x＞1时，h（x）是增函数，
当0＜x＜1时，h（x）是减函数，
∴a≤h（1）=4．
即实数a的取值范围是（-∞，4]．

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．