Question

已知抛物线C：x²=y，直线l与抛物线C交于A、B不同两点，且

OA

+

OB

=（p，6）．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线m为线段AB的中垂线，请判断直线m是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由；
（3）记点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，记曲线E是以A₁B₁为直径的圆，当直线l与曲线E的相离时，求p的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据抛物线的方程，可求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求出AB中点坐标，确定直线m的方程，分类讨论，即可得出结论；
（3）直线AB方程与抛物线方程联立，求出以A₁B₁为直径的圆的方程，利用直线l与曲线E的相离，建立不等式，即可求p的取值范围．

解答： 解：（1）抛物线C：x²=y的焦点坐标为（0，

1

4

），准线方程为y=-

1

4

；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵

OA

+

OB

=（p，6），
∴x₁+x₂=p，x₁²+x₂²=6，
∴AB中点坐标为（

p

2

，3），
∴k_l=x₁+x₂=p，
∴p≠0时，直线m的斜率为-

1

p

，
直线m的方程为y-3=-

1

p

（x-

p

2

），即y=-

1

p

x+

7

2

，
令x=0，则y=

7

2

；
p=0时，直线m的方程为x=0，也过（0，

7

2

），
∴直线m恒过（0，

7

2

）；
（3）设AB：y-3=p（x-

p

2

），即y=px+3-

p2

2

，
与抛物线方程联立，可得x2-px+

p2

2

-3=0，
∴△＞0，可得p²＜12，
则x₁+x₂=p，x₁x₂=

p2

2

-3，
∴|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

12-p2

，
∴以A₁B₁为直径的圆的方程为(x-

p

2

)2+y2=

12-p2

4

，
当直线l与曲线E的相离时，圆心到直线l的距离d＞r，即

3

p2+1

＞

12-p2

2

，
∴（p²-3）（p²-8）＞0，
∵p²＜12，
∴8＜p²＜12或0≤p²＜3，
∴p的取值范围为（-

3

，

3

）∪（-2

3

，-2

2

）∪（2

2

，2

3

）．

点评：本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，有难度．