Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=-x+b与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，记△AOB面积为S，求

S

|b|

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）令线段AB中点坐标为P（x₀，y₀），由已知条件推导出|y0|=

|AB|

2

，椭圆弦长公式推导出2

2

1+b

=2，由此能求出圆的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|AB|=4

2

1+b

，点O到直线AB的距离d=

|b|

2

，由此能求出

S

|b|

的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）令线段AB中点坐标为P（x₀，y₀），
∵以AB为直径的圆与x轴相切，∴|y0|=

|AB|

2

，
由y²=4x，y=-x+b，得y²+4y-4b=0，
由△=16+16b＞0，得b＞-1，
y₁+y₂=-4，y₁•y₂=-4b，x₁+x₂=2b-（y₁+y₂），
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

(y1-y2)2

=

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

2

16+16b

=4

2

1+b

y0=

y1+y2

2

=-2，
∴2

2

1+b

=2，
解得b=-

1

2

x0= x1+x2 2 =b+2= 3 2

，
∴所求圆的方程为(x-

3

2

)2+(y+2)2=4．（ 8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|AB|=4

2

1+b

，
点O到直线AB的距离d=

|b|

2

，S=

1

2

×4

2

1+b

×

|b|

2

=2

1+b

|b|，

S

|b|

=2

(1+b)(-b)

=2

-(b+ 1 2 )2+ 1 4

，
∵-1＜b＜0，∴当b=-

1

2

时，

S

|b|

取最大值1．（15分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查

S

|b|

的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用．