Question

已知方程x²-2ax+b²=0，
（1）若系数a在[0，2]内取值，b在[0，3]内取值，求使方程没有实根的概率．
（2）若系数a在[0，2]内取值，b在[0，3]内取值，且a∈N，b∈N求使方程没有实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）由a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数得试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程x²-2ax+b²=0没有实根构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}，分别求出两个区域面积即可得到概率；
（2）列举出从a从集{0，1，2}中任取和b从集{0，1，2，3}中任取的基本事件个数，及满足条件方程没有实数根的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

解答： 解：（1）由于a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}这是一个矩形区域，其面积S_Ω=2×3=6，
设“方程x²-2ax+b²=0没有实根”为事件A
则事件A构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}，
即图中阴影部分的梯形，其面积SM=6-

1

2

×2×2=4
由几何概型的概率计算公式可得方程x²-2ax+b²=0没有实根的概率P（A）=

SM

SΩ

=

4

6

=

2

3

；
（2）a从集{0，1，2}中任取和b从集{0，1，2，3}中任取共有3×4=12种不同情况，
分别为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），
（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），
（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），
这些事件是等可能发生的
记“方程x²-2ax+b²=0没有实根”为事件B，即△=4a²-4b²＜0，即a＜b
则事件B中共包括6种不同情况，分别为：
（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3），
故P（B）=

6

12

=

1

2

即方程x²-2ax+b²=0没有实根的概率为

1

2

．

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，以及几何概型与古典概型的概率计算，属于中档题．