Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，求DE与平面AEC所成夹角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：建立空间直角坐标系，找到平面AEC的法向量，根据线面所成角的定义可知，DE与平面AEC所成夹角的正弦值等于平面的法向量与向量

DE

的余弦值的绝对值，由此解之．

解答： 解：以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，
AB所在直线为y轴，过点O平行于AD的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AE⊥平面BCE，BE?平面BCE，∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，
∴OE=1，∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），D（0，-1，2），
∴

AE

=（1，1，0），

AC

=（0，2，2），

DE

=（1，1，-2），
设平面AEC的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

AE • n =0 AC • n =0

，∴

x+y=0 2y+2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，1），
∴

DE

•

n

=1-1-2=-2，
∴cos＜

DE

，

n

＞=

DE • n

| DE || n |

=

-2

6 3

=-

2

3

，
∴DE与平面AEC所成夹角的正弦值

2

3

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值求法，根据线面所成角与直线与平面的法向量所成角的互余或者相差90°，由此采用向量法将所求转化为向量的夹角问题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，经常考查，注意掌握．