Question

下列命题：
①数列{a_n}为递减的等差数列且a₁+a₅=0，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则当n=4时，S_n取得最大值；
②设函数f（x）=x²+bx+c，则x₀满足关于方程2x+b=0的充要条件是对任意x∈R均有f（x）≥f（x₀）；
③在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，直线BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为

10

5

；
④定义在R上的函数y=f（x）满足f（5+x）=f（-x）且(x-

5

2

)f/（x）＞0，已知x₁＜x₂，则f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要条件．
其中正确命题的序号是

 

（把所有正确命题的序号都写上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：根据等差数列的性质、数列的单调性判断出①不正确；根据二次函数的性质判断出②正确；由题意和线面角的定义判断出③正确；由函数的对称性、导数与函数的单调性的关系判断出④正确．

解答： 解：对①，由等差数列的性质和a₁+a₅=2a₃=0，得a₃=0，
又数列{a_n}单调递减，所以当n=2或n=3时，S_n取得最大值，则①不正确；
对②，当x₀=-

b

2

时，函数f（x）=x²+bx+c取最小值，即f（x）≥f（-

b

2

），
由2x+b=0得，x=-

b

2

，即x₀=-

b

2

，故条件充分，
反之也成立，故必要，则②正确；
对③，于连结A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O，连结OB
由已知得C₁O⊥面BB₁D₁D，∴∠C₁BO为所求角，
在Rt△C₁OB中，得sin∠C1BO=

10

5

，③正确；
对④，∵f（5+x）=f（-x），所以函数f（x）关于x=

5

2

对称
∵（x-

5

2

）f′（x）＞0，
∴x＞

5

2

时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜

5

2

时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x₁＜x₂时，若f（x₁）＞f（x₂）则有x₁＜x₂＜5-x₁，∴x₁+x₂＜5成立，故条件充分，
当x₁+x₂＜5时，必有x₂＜5-x₁成立，又因为x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂）成立，故必要，
f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的充要条件，则④正确，
故答案为：②③④．

点评：本题考查了命题的真假性判断，充要性的判断，涉及的知识点多，综合性强，难度大．