Question

函数f（x）=x-

a

x

的定义域为（0，1]．
（1）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（2）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最值．并求出函数取最值时x的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数单调区间，从而求出a的范围；
（2）通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出函数f（x）的最值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=1+

a

x2

，
a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]递增，不合题意，
a＜0时，令f′（x）＜0，解得：-

-a

＜x＜

-a

，而0＜x≤1，
∴

-a

≥1，即a≤-1时，f（x）在（0，1]上递减；
（2）a≥0时，f（x）在（0，1]递增，
f（x）无最小值，f（x）的最大值是f（1）=1-a，
-1＜a＜0时，f（x）在（0，

-a

）递减，在（

-a

，1]递增，
∴f（x）的最小值是f（

-a

）=0，f（x）无最大值．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查了分类讨论，是一道中档题．