Question

已知函数f(x)=x+

c

x

，若对任意x∈N^*，都有f（x）≥f（3），则实数c的取值范围是（　　）

• A、[3，+∞）
• B、{9}
• C、[3，9]
• D、[6，12]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：利用导数确定函数f(x)=x+

c

x

单调性，设n∈N^*，且f（n）是函数f(x)=x+

c

x

，x∈N^*的最小值，则f（n-1）≥f（n）且f（n+1）≥f（n），代入解不等式即可确定c的范围．

解答： 解：∵f(x)=x+

c

x

，
∴f′（x）=1-

c

x2

，
令f′（x）=0，则x=

c

，
∴当x∈（0，

c

）上单调递减，当x∈（

c

，+∞）上单调递增，
设n∈N^*，且f（n）是函数f(x)=x+

c

x

，x∈N^*的最小值，
则f（n-1）≥f（n）且f（n+1）≥f（n），
即

n-1+ c n-1 ≥n+ c n n+1+ c n+1 ≥n+ c n

，
化简得，n（n-1）≤c≤n（n+1），
∴当n=3时，6≤c≤12，
故选：D．

点评：本题考查导数在研究函数单调性中的应用，以及函数单调性的灵活应用，属于难题．