Question

已知数列{a_n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{a_n}前n项和为S_n，且满足S₅=2a₄+a₅，a₉=a₃+a₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_ma_m+1=a_m+2，求正整数m的值；
（3）是否存在正整数m，使得

S2m

S2m-1

恰好为数列{a_n}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：压轴题,等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比，则等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（2）分a_m=2k和a_m=2k-1，利用a_ma_m+1=a_m+2即可求出满足该等式的正整数m的值；
（3）对于k∈N^*，有S2k=

(1+2k-1)k

2

+

2(1-3k)

1-3

=k2-1+3k．
S2k-1=S2k-a2k=k2-1+3k-2•3k-1=k2-1+3k-1．假设存在正整数m，使得

S2m

S2m-1

恰好为数列{a_n}中的一项，设

S2m

S2m-1

=L（L∈N^*），则

m2-1+3m

m2-1+3m-1

=L，变形得到（3-L）3^m-1=（L-1）（m²-1），由此式得到L的可能取值，然后依次分类讨论求解．

解答： ：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则a₁=1，a₂=2，a₃=1+d，a₄=2q，a₉=1+4d．
∵S₅=2a₄+a₅，
∴a₁+a₂+a₃=a₄，即4d=2q，
又a₉=a₃+a₄．
∴1+4d=1+d=2q．
解得：d=2，q=3．
∴对于k∈N^*，有a2k-1=1+(k-1)•2=2k-1，a2k=2•3k-1．
故an=

n，n=2k-1 2•3 n 2 -1，n=2k

k∈N*；
（2）若a_m=2k，则由a_ma_m+1=a_m+2，得
2•3^k-1（2k+1）=2•3^k，解得：k=1，则m=2；
若a_m=2k-1，则由（2k-1）•2•3^k-1=2k+1，
此时左边为偶数，右边为奇数，不成立．
故满足条件的正数为2；
（3）对于k∈N^*，有
S2k=

(1+2k-1)k

2

+

2(1-3k)

1-3

=k2-1+3k．
S2k-1=S2k-a2k=k2-1+3k-2•3k-1=k2-1+3k-1．
假设存在正整数m，使得

S2m

S2m-1

恰好为数列{a_n}中的一项，
又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设

S2m

S2m-1

=L（L∈N^*），
则

m2-1+3m

m2-1+3m-1

=L，变形得到
（3-L）3^m-1=（L-1）（m²-1）①．
∵m≥1，L≥1，3^m-1＞0，
∴L≤3．
又L∈N^*，故L可能取1，2，3．
当L=1时，（3-L）3^m-1＞0，（L-1）（m²-1）=0，
∴①不成立；
当L=2时，（3-2）3^m-1=（2-1）（m²-1），即3^m-1=m²-1．
若m=1，3^m-1≠m²-1，
令Tm=

m2-1

3m-1

(m∈N*，m≥2)，
则Tm+1-Tm=

(m+1)2-1

3m

-

m2-1

3m-1

=

-2m2+2m+3

3m

=

-2(m+ 1 2 )2+ 7 2

3m

≤

-2m2+2×2+3

32

＜0．
因此，1=T₂＞T₃＞…，
故只有T₂=1，此时m=2，L=2=a₂．
当L=3时，（3-3）3^m-1=（3-1）（m²-1）．
∴m=1，L=3=a₃．
综上，存在正整数m=1，使得

S2

S1

恰好为数列{a_n}中的第三项，
存在正整数m=2，使得

S4

S3

恰好为数列{a_n}中的第二项．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题．