Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=

5

2

，对于任意非零实数x，总有f（x）＞2．且对于任意实数x、y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（1）求f（0）的值，并证明f（x）为偶函数；
（2）若数列{a_n}满足，a_n=f（n），判断a_n+1和a_n的大小关系，并证明你的结论；
（3）设有理数a，b满足|a|＜|b|，判断f（a）和f（b）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,不等式比较大小

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=1，y=0，求出f（0）=2，再令x=0即可判断函数的奇偶性；
（2）由x≠0时，f（x）＞2，则f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（y），即f（x+y）-f（y）＞f（y）-f（x-y），再令x=1，y=n，有f（n+1）-f（n）＞f（n）-f（n-1），再由递推，即可得到；
（3）由x≠0时，f（x）＞2，则f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（y），即f（x+y）-f（y）＞f（y）-f（x-y）令y=kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[（k+1）x]-f（kx）＞f（kx）-f[（k-1）x]，再由递推即可得到对于k为正整数，总有f[（k+1）x]＞f（kx）成立，即有n＜m，则有f（nx）＜f（mx）成立，可设|a|=

q1

p1

，|b|=

q2

p2

，其中q₁，q₂是非负整数，p₁，p₂都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论，即可得到大小．

解答： 解：（1）令x=1，y=0，∴f（1）f（0）=f（1）+f（1），
又f（1）=

5

2

，∴f（0）=2．
令x=0，得f（0）f（y）=f（y）+f（-y），即2f（y）=f（y）+f（-y），
∴f（y）=f（-y）对任意的实数y总成立，
∴f（x）为偶函数；
（2）结论：a_n＜a_n+1．
证明：∵x≠0时，f（x）＞2，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（y），
即f（x+y）-f（y）＞f（y）-f（x-y）
∴令x=1，y=n，有f（n+1）-f（n）＞f（n）-f（n-1），
则f（n+1）-f（n）＞f（n）-f（n-1）＞f（n-1）-f（n-2）＞…＞f（1）-f（0）＞0．
∴a_n＜a_n+1．
（3）结论：f（a）＜f（b）．
证明：∵x≠0时，f（x）＞2，
∴f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）＞2f（y），即f（x+y）-f（y）＞f（y）-f（x-y）
∴令y=kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[（k+1）x]-f（kx）＞f（kx）-f[（k-1）x]，
则f[（k+1）x]-f（kx）＞f（kx）-f[（k-1）x]＞…＞f（x）-f（0）＞0
∴对于k为正整数，总有f[（k+1）x]＞f（kx）成立．
∴对于m，n为正整数，若n＜m，则有f（nx）＜f[（n-1）x]＜…＜f（mx）成立．
∵a，b为有理数，所以可设|a|=

q1

p1

，|b|=

q2

p2

，其中q₁，q₂是非负整数，p₁，p₂都是正整数，
则|a|=

q1p2

p1p2

，|b|=

p1q2

p1p2

，令x=

1

p1p2

，t=q₁p₂，s=p₁q₂，则t，s为正整数．
∵|a|＜|b|，∴t＜s，∴f（tx）＜f（sx），即f（|a|）＜f（|b|）．
∵函数f（x）为偶函数，∴f（|a|）=f（a），f（|b|）=f（b），
∴f（a）＜f（b）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性和运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查不等式的证明方法：递推法，属于中档题．