Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°AB=AD=2BC，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）证明AD⊥PC
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AD的中点O，连接PO，OC，可证得四边形ABCO为矩形，结合等腰三角形三线合一及线面垂直的判定定理，可得AD⊥平面POC，进而AD⊥PC
（Ⅱ）（法一）：分别以OC，OA，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面APD，平面PDC的法向量，代入向量夹角公式，可求得二面角A-PD-C的余弦值．
（法二）：过O点作OE⊥PD，垂足为E，连接CE，则CE⊥PD，于是∠CEO为所求二面角的一个平面角，解三角形可求得二面角A-PD-C的余弦值．

解答： 证明：（Ⅰ）取AD的中点O，连接PO，OC，

∵△PAD为正三角形，
∴PO⊥AD…（2分），
又∵在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=2BC，
∴BC∥AO，且BC=AO
∴四边形ABCO为矩形，
∴CO⊥AD…（4分），
又∵PO∩CO=O，PO，CO?平面POC，
∴AD⊥平面POC，
又∵PC?平面POC，
∴AD⊥PC…（6分）
解：（Ⅱ）（法一）：由（Ⅰ）知PO⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD
∴PO⊥平面ABCD，所以分别以OC，OA，OP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的直角坐标系，并设BC=1，则AB=AD=2，OP=

3

，

∴O（0，0，0），C（2，0，0），A（0，1，0），D（0，-1，0），P(0，0，

3

)
∴

OP

=(0，0，

3

)，

OD

=(0，-1，0)，

CP

=(-2，0，

3

)，

CD

=(-2，-1，0)…（8分）
设平面APD，平面PDC的法向量分别为

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)
则

n1 • OP =0 n1 • OD =0

且

n2 • CP =0 n2 • CD =0

∴

3 z1=0 -y1=0

且

-2x2+ 3 z2=0 -2x2-y2=0

∴分别取平面APD，平面PDC的一个法向量

n1

=(1，0，0)，

n2

=(

3

，-2

3

，2)…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

19

=

57

19

∴二面角A-PD-C的余弦值为

57

19

…（12分）
（法一）：由（Ⅰ）知CO⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD
∴CO⊥平面PAD，
过O点作OE⊥PD，垂足为E，连接CE，则CE⊥PD，

于是∠CEO为所求二面角的一个平面角，
设BC=1，则AB=AD=2，OD=1，OC=2，
则OE=

3

2

，CE=

OC2+OE2

=

19

2

，
∴cos∠OEC=

OE

CE

=

3 2

19 2

=

57

19

∴二面角A-PD-C的余弦值为

57

19

…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，是立体几何知识的综合考查，难度中档．