Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=2PC．
（1）求直线AP与平面BCC₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AD₁-D的平面角的余弦值；
（3）求点O到平面AD₁P的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面BCC₁B₁的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AP与平面BCC₁B₁所成角的余弦值；
（2）求出平面AD₁P的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角P-AD₁-D的平面角的余弦值；
（3）利用点到面的距离公式，即可求点O到平面AD₁P的距离．

解答： 解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，------------------（1分）
则A（2，0，0），P（0，2，1），∴

AP

=（-2，2，1），
而平面BCC₁B₁的一个法向量是

DC

=(0，2，0)，
又设直线AP与平面BCC₁B₁所成角为θ----------（3分）
∴sinθ=|

AP. DC

| AP || DC |

|=

2

3

，
∴cosθ=

5

3

，即直线AP与平面BCC₁B₁所成角的余弦值为

5

3

---------（6分）
（2）

AP

=(-2，2，1)，

AD

=(-2，0，2)，设

n

=(x，y，z)是平面AD₁P的一个法向量，
∴

-2x+2y=0 -2x+2z=0

，令x=1，则z=1，y=

1

2

，
∴

n

=(1，

1

2

，1)，…8分
设二面角P-AD₁-D的平面角是α，
则cosα=|

DC. n

| DC || n |

|=

1

3

…11分
（3）∵

D1O

=(1，1，0)，
∴点O到平面AD₁P的距离d=|

| DO . n |

| n |

|=1…15分

点评：本题考查空间角，考查点到平面距离的计算，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．