Question

如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，△ABF₂的周长为4

2

，且△AF₁F₂面积最大时，△AF₁F₂为直角三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q，证明：点M（1，0）在以PQ为直径的圆上；
（3）试问，是否存在x轴上的点T（t，0），使得

TA

•

TB

为定值，若存在，求出T点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据题意得

b=c 4a=4 2

，由此能求出椭圆E的方程．
（2）由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由直线与椭圆相切，得2k²-m²+1=0，由此能证明M在以PQ为直径的圆上．
（3）设过F₁（-1，0）的直线的方程为y=k₁（x+1），由

y=k1(x+1) x2+2y2=2

，得(2k12+1)x2+4k12x+2k12-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在点T(-

5

4

，0)，使得

TA

•

TB

为定值．

解答： （1）解：当三角形面积最大时，为直角三角形，
此时A（0，b），根据题意得

b=c 4a=4 2

，（2分）
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）证明：由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线与椭圆相切，∴m≠0，△=0，∴2k²-m²+1=0，（6分）
设点P（x_P，y_P），则xP=-

2km

2k2+1

=-

2km

m2

=-

2k

m

，
yP=kxP+m=-

2k2

m

+m=

1

m

，（8分）
∴P(-

2k

m

，

1

m

)，又Q（2，2k+m），

MP

=(-

2k

m

-1，

1

m

)，

MQ

=(1，2k+m)，（9分）
则

MP

•

MQ

=-

2k

m

-1+

2k

m

+1=0
∴M在以PQ为直径的圆上．（10分）
（3）解：若过F₁（-1，0）的直线的斜率存在，设其方程为y=k₁（x+1）
由

y=k1(x+1) x2+2y2=2

，得(2k12+1)x2+4k12x+2k12-2=0，（11分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得：x1+x2=-

4k12

2k12+1

，x1x2=

2k12-2

2k12+1

，
∴

TA

•

TB

=(x1-t，y1)•(x2-t，y2)=x1x2-t(x1+x2)+t2+k12(x1+1)(x2+1)
=(k12+1)x1x2+(k12-t)(x1+x2)+k12+t2
=(k12+1)

2k12-2

2k12+1

-(k12-t)

4k12

2k12+1

+k12+t2
=

(4t+1)k12-2

2k12+1

+t2，（14分）
当4t+1=-4，即t=-

5

4

时，

TA

•

TB

=-

7

16

为定值，
若过F₁的直线的斜率不存在，则A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，T(-

5

4

，0)，

TA

•

TB

=-

7

16

为定值，
综上所述，存在点T(-

5

4

，0)，使得

TA

•

TB

为定值．（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在圆上的证明，考查使得向量积为定值的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．