Question

某校50名学生在一次科普知识竞赛中，初赛成绩全部介于60与100之间，将初赛成绩按如下方式分成四组：第一组[60，70]，第二组[70，80]，…，第四组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）求成绩在[80，90]范围内的人数；
（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次回答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对l道，则获得二等奖，否则获得三等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率p的值恰好与成绩不少于80分的频率值相同．
（i）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
（ii）设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由成绩在[80，90）范围内的频率是0.28，能求出成绩在[80，90）范围内的人数．
（Ⅱ）（i）由已知条件求出p=0.4．该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，第4道也能够答对才获得一等奖，由此能求出结果．
（ii）由题设可知，该同学答题个数为2、3、4．即X=2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得成绩在[80，90）范围内的频率是0.28   …（2分）
则成绩在[80，90）范围内的人数是0.28×50=14人…（3分）
（Ⅱ）∵成绩在[80，90）范围内的频率是0.28，在[90，100）范围内的频率是0.12，
∴p=0.28+0.12=0.4．…（5分）
（i）该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道，
第4道也能够答对才获得一等奖，
则有

C

1 3

×0.4×0．62×0.4=0.1728．
∴该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率为0.1728．…（7分）
（ii）由题设可知，该同学答题个数为2、3、4．即X=2、3、4，
P（X=2）=0.4²=0.16，P（X=3）=

C

1 2

×0.4×0.6×0.4=0.192，
P（X=4）=

C

1 3

×0.4×0．62+0．63=0.648．…（11分）
∴X的分布列为：

X	2	3	4
P	0.16	0.192	0.648

E（X）=2×0.16+3×0.192+4×0.648=3.488．…（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．