Question

给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h（x）=x-a

x

，已知g（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）求实数a的值，并确定函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当1＜x＜e²时，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立；
（Ⅲ）若函数y=m-g（x）在[

1

e

，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：求a的值通过g（x）在x=1处取得极值，则有g′（1）=0，所以能求出a的值．这样能求出h（x）的解析式，要确定h（x）的单调性，通过求导数判断导数符号的办法．对于第二问，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立，可以直接构造函数H（x）=x-

2+lnx

2-lnx

，然后判断该函数的单调性，看能否根据单调性证明F（x）＜0．对于第三问求解的一般思路就是先计算函数在区间[

1

e

，e]取最值情况及函数在这一区间的单调性如何，从而得出对m的限制条件．

解答： 解：g（x）=x²-alnx，∴g′（x）=2x-

a

x

，∴g′（1）=2-a=0；
（Ⅰ）∴a=2，h（x）=x-2

x

，∴h′（x）=1-

1

x

；
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递减；
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）要证x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立，∵1＜x＜e²，∴2-f（x）＞0；
∴只要证（2-f（x））x＜2+f（x），即证f（x）＞

2x-2

x+1

；
即证lnx-

2x-2

x+1

＞0；
设F（x）=lnx-

2x-2

x+1

，则F′（x）=

(x+3)(x-1)

x(x+1)2

＞0，∴F（x）在（1，e²）上单调递增；
∴F（x）＞F（1）=0，∴F（x）＞0，∴lnx-

2x-2

x+1

＞0，∴当1＜x＜e²时，恒有x＜

2+f(x)

2-f(x)

成立．
（Ⅲ）y=m-x²+2lnx，则y′=

2(1-x2)

x2

；
∴函数y=m-x²+2lnx在[

1

e

，1）单调递增，在（1，e]单调递减；
∴该函数在x=1处取到极大值，也是最大值；
∴要使函数y=m-g（x）在[

1

e

，e]上有两个零点；
∵x=1时，y=m-1；
x=

1

e

时，y=m-

1

e2

-2；
x=e时，y=m-e²+2，∴有：

m-1＞0 m- 1 e2 -2≤0 m-e2+2≤0

；
∴解得：1＜m≤

1

e2

+2，即m的取值范围是（1，

1

e2

+2]．

点评：考查的知识点为：利用导数判断函数的单调性，极值的概念，函数的最值．对于第二问，需要学会构造函数，判断函数的单调性，然后根据函数的单调性证明不等式．注意第三问所用的方法就是，先求函数在区间上的最值，根据是最大值还是最小值，通过限制闭区间两个端点值及最值的符号，从而求出m的取值范围．