Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A-PD-E的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立坐标系，证明

DE

•

PB

=0，

DE

•

PC

=0，即可证明DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-PD-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，
以点A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA=AB=BC=2AD=2，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），
∴

DE

=（0，1，1），

PB

=（0，2，-2），

PC

=（2，2，-2），
∴

DE

•

PB

=0，

DE

•

PC

=0，
∴DE⊥PB，DE⊥PC，
∵PB∩PC=P，
∴DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量

m

=（0，2，0）．
设平面PCD的一个法向量为

n

=（x，y，z），则
∵

PD

=（1，0，-2），

PC

=（2，2，-2），
∴

x-2z=0 2x+2y-2z=0

，
∴取

n

=（2，-1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

-2

6 •2

=-

6

6

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．