Question

已知函数f（x）=-

2

3

x³+2ax²+3x．
（1）当a=

1

4

时，求函数f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值；
（2）令g（x）=ln（1-x）+3-f′（x），若g（x）在定义域上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=

1

4

时，函数f（x）=-

2

3

x³+

1

2

x²+3x，f′（x）=-2x²+x+3=-（x+1）（2x-3），令f′（x）=0，解得x=-1，

3

2

．列出表格可得极值，再求出区间端点的函数值，经过比较即可得出最值．
（2）g（x）=ln（1-x）+3-f′（x）=ln（1-x）+，g（x）=ln（1-x）+2x²-4ax，由1-x＞0可得其定义域为（-∞，1）．
g′（x）=

1

x-1

+4x-4a=

4x2-(4+4a)x+4a+1

x-1

．由于函数g（x）在定义域上单调递减，因此g′（x）≤0，x∈（-∞，1）．即4x²-（4+4a）x+4a+1≥0恒成立，x∈（-∞，1）?a≥

(2x-1)2

4(x-1)

，x∈（-∞，1）．求出右边的最大值即可．

解答： 解：（1）当a=

1

4

时，函数f（x）=-

2

3

x³+

1

2

x²+3x，f′（x）=-2x²+x+3=-（x+1）（2x-3），
∵x∈[-2，2]，令f′（x）=0，解得x=-1，

3

2

．
列表如下：

x	[-2，-1）	-1	(-1， 3 2 )	3 2	( 3 2 ，2]
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极小值，f（-1）=-

11

6

，又f（2）=

8

3

，∴函数f（x）在区间[-2，2]的最小值为-

11

6

．当x=

3

2

时，函数f（x）取得极大值，f(

3

2

)=

27

8

，又f（-2）=

4

3

，∴函数f（x）在区间[-2，2]的最大值为

27

8

．
（2）g（x）=ln（1-x）+3-f′（x）=ln（1-x）+，g（x）=ln（1-x）+2x²-4ax，其定义域为（-∞，1）．
g′（x）=

1

x-1

+4x-4a=

4x2-(4+4a)x+4a+1

x-1

，
∵函数g（x）在定义域上单调递减，∴g′（x）≤0，x∈（-∞，1）．
∴4x²-（4+4a）x+4a+1≥0恒成立，x∈（-∞，1）．
?a≥

(2x-1)2

4(x-1)

，x∈（-∞，1）．
∵

(2x-1)2

4(x-1)

≤0，∴a≥0．
因此实数a的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分离参数法求取值范围，考查了推理能力和计算能力，属于难题．