Question

如图，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，已知AC=BC=CD=1，AE=2，∠ACB=90°．
（Ⅰ）证明：DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：

分析：（Ⅰ）证明DF⊥平面ABE，只需证明CG⊥平面ABE，DF∥CG即可；
（Ⅱ）取BD的中点M，连接CM，连接AM，则BD⊥AM，所以∠ANC是二面角A-BD-C的平面角，即可求二面角A-BD-C的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：取AB的中点G，连接CG、FG．
因为CD∥AE，GF∥AE，所以CD∥GF．
又因为CD=1，GF=

1

2

AE，所以CD=GF．
所以四边形CDFG是平行四边形，DF∥CG．（2分）
在等腰Rt△ACB中，G是AB的中点，所以CG⊥AB．
因为EA⊥平面ABC，CG?平面ABC，所以EA⊥CG．
而AB∩EA=A，所以CG⊥平面ABE．
又因为DF∥CG，所以DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）解：因为AC⊥BC，AC⊥CD，BC∩CD=C，所以AC⊥平面BCD，
取BD的中点M，连接CM，则
因为BC=CD，所以CM⊥BD，
连接AM，则BD⊥AM，所以∠ANC是二面角A-BD-C的平面角，
因为BC=CD=1，BC⊥CD，所以CM=

1

2

BD=

2

2

，
因为AC=1，所以tan∠AMC=

AC

CM

=

2

，
所以二面角A-BD-C的正切值为

2

．

点评：本题考查线面垂直，考查二面角A-BD-C的平面角，正确运用线面垂直的判定定理，作出二面角的平面角是关键．