Question

在等比数列{a_n}中，a₂-a₁=2，且3a₂为9a₁和a₃的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的首项和公比；
（Ⅱ）设b_n=a_n+log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得

a1q-a1=2 6a1q=9a1+a1q2

，由此能求出数列{a_n}的首项和公比．
（Ⅱ）由an=3n-1，得b_n=a_n+log₃a_n=3^n-1+n-1，由此能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）在等比数列{a_n}中，a₂-a₁=2，且3a₂为9a₁和a₃的等差中项，
∴

a1q-a1=2 6a1q=9a1+a1q2

，
解得a₁=1，q=3．
（Ⅱ）∵a₁=1，q=3，∴an=3n-1，
∴b_n=a_n+log₃a_n=3^n-1+n-1，
设数列{b_n}的前n项和为T_n．
∴T_n=（1+3+3²+…+3^n-1）+（1+2+…+n）-n
=

1-3n

1-3

+

n(n+1)

2

-n
=

3n+n2-n-1

2

．
∴数列{b_n}的前n项和为

3n+n2-n-1

2

．．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．