Question

在极坐标系中，过极点O做直线n与直线m：ρcosθ=2相交于点M，在线段OM上取一点P，使|OM|•|OP|=6．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）直线l恒过定点（0，1），l与点P的轨迹交于A、B两点，当|AB|=

5

时，求直线l在直角坐标系下的方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ₀，θ），由题意ρρ₀=6，ρ₀cosθ=2，求出点P的轨迹方程；

解答： 解：（1）设动点P的坐标为（ρ，θ），M的坐标为（ρ₀，θ），
则ρ•ρ₀=6；
∵ρ₀cosθ=2，
∴ρ=3cosθ；
∴点P的轨迹方程为ρ=3cosθ；
（2）点P的轨迹方程ρ=3cosθ化为普通方程是x²+y²=3x，
即(x-

3

2

)2+y²=

9

4

，它表示圆心为（

3

2

，0），半径为

3

2

的圆；
设直线l的方程为kx+y-1=0，
则圆心到直线l的距离d=

| 3 2 k-1|

1+k2

=

( 9 4 )2-( 5 2 )2

；
解得k=0，或k=

12

5

，
∴直线l的方程为y-1=0，或

12

5

x+y-1=0；
即y=1或12x+5y-5=0．

点评：本题考查了极坐标方程的应用问题，解题时应深刻把握极坐标方程的意义是什么，熟练地进行极坐标与普通方程的互化，是基础题．