Question

若函数f（x）=

ex+x-a

存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由f（f（b））=b可得A（b，f（b）），A′（f（b），b）也在函数y=f（x）的图象上为突破即可得到结论．

解答： 解：若存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b，
则A（b，f（b）），A′（f（b），b）也在函数y=f（x）的图象上，
又f（x）=

ex+x-a

在[0，1]上递增，
∴（x_A'-x_A）（y_A'-y_A）≥0，
即（f（b）-b）（b-f（b））≥0，
则（f（b）-b）²≤0，
即f（b）=b，即f（x）=x，在[0，1]上有解，
根据 f（x）=

ex+x-a

=x，化简整理得e^x=x²-x+a，
即a=e^x-x²+x，
设F（x）=e^x-x²+x，则F′（x）=e^x-2x+1≥0，x∈[0，1]，
即F（x）在[0，1]上单调递增，
∵F（0）=1，F（1）=e，
∴1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故答案为：[1，e]

点评：本题主要考查函数的性质以及导数的有关知识，根据条件转化为函数问题是解决本题的关键．，综合性较强，难度较大．