Question

已知函数f（x）=（x²-2x+1）e^x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）定义：若函数h（x）在区间[s，t]（s＜t）上的取值范围为[s，t]，则称区间[s，t]为函数h（x）的“域同区间”．试问函数f（x）在（1，+∞）上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用函数的正负性，来求原函数的单调区间．
（2）构造新的函数，利用二次求导来判断原函数的单调性，再由特殊值即可判断函数零点的个数．

解答： 解：（1）因为f（x）=（x²-2x+1）e^x，
所以f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+1）e^x=（x²-1）e^x=（x+1）（x-1）e^x．
当x＜-1或x＞1时，f'（x）＞0，即函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞）．
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，即函数f（x）的单调递减区间为（-1，1）．
所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
（2）假设函数f（x）在（1，+∞）上存在“域同区间”[s，t]（1＜s＜t），
由（1）知函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
所以

f(s)=s f(t)=t

即

(s-1)2•es=s (t-1)2•et=t

也就是方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的相异实根．
设g（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），则g'（x）=（x²-1）e^x-1．
设h（x）=g'（x）=（x²-1）e^x-1，则h'（x）=（x²+2x-1）e^x．
因为在（1，+∞）上有h'（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（1）=-1＜0，h（2）=3e²-1＞0，
即存在唯一的x₀∈（1，2），使得h（x₀）=0．
当x∈（1，x₀）时，h（x）=g'（x）＜0，即函数g（x）在（1，x₀）上是减函数；
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）=g'（x）＞0，即函数g（x）在（x₀，+∞）上是增函数．
因为g（1）=-1＜0，g（x₀）＜g（1）＜0，g（2）=e²-2＞0，
所以函数g（x）在区间（1，+∞）上只有一个零点．
这与方程（x-1）²e^x=x有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．
所以函数f（x）在（1，+∞）上不存在“域同区间”．
故答案为：（1）函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
（2）函数f（x）在（1，+∞）上不存在“域同区间”．

点评：本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识．