Question

如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在抛物线y²=x上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=

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x+n．
（1）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；
（2）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由∠BAP=∠BAQ，知k_AP+k_AQ=0，可得my=2y+m，与y²=m，联立方程组，由此能求出m．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由直线PQ的方程y=

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x+n与抛物线y²=x联立，得y²-2y+2n=0．利用韦达定理结合对称性，得到存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ．

解答： 解：（1）由直线PQ的方程y=

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x与抛物线y²=x联立，解得P（0，0），Q（4，2）．…（2分）
因为∠BAP=∠BAQ，所以k_AP+k_AQ=0．
设A（m，y），则

y

m

+

y-2

m-4

=0，化简得my=2y+m，…（5分）
又y²=m，联立方程组，解得m=1，或m=4．
因为AB平分∠PAQ，所以m=4不合，故m=1．…（7分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由直线PQ的方程y=

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x+n与抛物线y²=x联立，得y²-2y+2n=0．
△=4（1-2n），y₁+y₂=2，y₁y₂=2n．…（9分）
若存常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ，则由（1）知只可能m=1．
当m=1时，取A（1，-1），∠BAP=∠BAQ等价于

y1+1

x1-1

+

y2+1

x2-1

=0，
即（y₁+1）（2y₂-2n-1）+（y₂+1）（2y₁-2n-1）=0，
即4y₁y₂+2（2n+1）=2（n-1）（y₁+y₂），
即8n=2（2n-1）+2（2n+1），此式恒成立．
∴存在常数m=1，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ．…（15分）．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，综合性质强，难度大，具有一定的探究性，对数学思维的要求较高．