Question

在△ABC中，B（5，0），C（-5，0），点A满足sinB-sinC=

1

2

sinA，试确定点A的轨迹及其方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,正弦定理

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：△ABC中，利用正弦定理，将sinB-sinC=

1

2

sinA转化为b-c=

1

2

a，再由双曲线的概念即可求其轨迹方程．

解答： 解：∵B（5，0），C（-5，0），点A满足sinB-sinC=

1

2

sinA，
∴由正弦定理得b-c=

1

2

a，即|AC|-|AB|=

1

2

|BC|=5，
∴点A在以B（-5，0）、C（5，0）为焦点，即c=5；实轴长为5，即a=2.5的双曲线的左支上，
∴b²=c²-a²=

75

4

．
又A、B、C构成三角形，故点C与A，B不共线，
∴顶点A的轨迹方程为：

x2

25 4

-

y2

75 4

=1（x＜-2.5）．

点评：本题考查正弦定理，考查双曲线的概念与标准方程，考查理解与运算能力，属于中档题．