Question

如图，AB是⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点C为⊙O上不同于A，B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与⊙O交于D，与BE交于E，连接BD，CD．
（1）求证：BD平分∠CBE；
（2）求证：AH•BH=AE•HC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）由AD为∠BAC的平分线得

BD

=

CD

，得出∠DBC=∠BCD，再由弦切角定理得到∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；
（2）证明△ABE∽△ACH，得出AH•BE=AE•HC即可．

解答： 证明：（1）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，
∴

BD

=

CD

，可得∠DBC=∠BCD，
又∵BE与圆O相切于点B，
∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC，
∴BD平分∠CBE；
（2）由（1）可知BE=BH，
所以AH•BH=AH•BE因为∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，
所以△ABE∽△ACH，
所以

AH

AE

=

HC

BE

，即AH•BE=AE•HC，即：AH•BH=AE•HC．

点评：本题给出圆的直径与切线，考查圆的几何性质，弦切角定理，三角形相似，属于中档题．