Question

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象在y轴上的截距为1，它的两个相邻对称轴间的距离是2π，
（1）求y=lgf（x）的递减区间．
（2）将f（x）的图象横坐标缩小到原来的

1

2

倍，再向右平移

5π

6

个单位；纵坐标缩小到原来的

1

2

倍，得到函数y=g（x）．求：函数y=g（x）的解析式和方程g（x）=

x

10

的根的个数．（不需要过程，只要结论）

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求出ω，由函数的图象经过点（0，1）求得φ，可得函数的解析式，可得y=lgf（x）=lg2cos(

x

2

+

π

3

)．令2kπ≤

x

2

+

π

3

＜2kπ+

π

2

，求得x的范围，可得y=lgf（x）的递减区间．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到函数y=g（x）=sinx的图象．方程sinx=

x

10

根的个数，即函数y=sinx 的图象和函数y=

x

10

的图象的交点个数，数形结合可得结论．

解答： 解：（1）由题意可得周期为4π=

2π

ω

，求得ω=

1

2

．
再根据函数的图象经过点（0，1），可得2cosφ=1，求得cosφ=

1

2

，再结合|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

3

，
故 f(x)=2cos(

x

2

+

π

3

)，y=lgf（x）=lg2cos(

x

2

+

π

3

)．
令2kπ≤

x

2

+

π

3

＜2kπ+

π

2

，求得4kπ-

2π

3

≤x＜4kπ+

π

3

，（k∈Z），
故y=lgf（x）的递减区间为(4kπ-

2π

3

，4kπ+

π

3

)，（k∈Z）．
（2）将f（x）的图象横坐标缩小到原来的

1

2

倍，可得函数y=2cos（x+

π

3

）的图象；
再向右平移

5π

6

个单位，可得函数y=2cos（x-

5π

6

+

π

3

）=2sinx的图象；
再把纵坐标缩小到原来的

1

2

倍，得到函数y=g（x）=sinx的图象．
方程sinx=

x

10

根的个数，即函数y=sinx 的图象和函数y=

x

10

的图象的交点个数，
数形结合可得方程sinx=

x

10

根的个数为7个．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，余弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．